2021年已經流逝了半年時光,在接下來不到半年的時間里,公職考試的機會可能沒有上半年多了。所以,在接下來的時間里,同學們更要把握好時間,認真復習。接下來,我們來了解一下公約數和公倍數。
首先,我們來了解一下公約數和公倍數的含義:
公約數:指在兩個或兩個以上的自然數中,如果它們有相同的約數,這些約數就是它們的“公約數”。公約數中最大的,稱為這幾個自然數的最大公約數。比如,自然數6的約數有1、2、3和6,自然數8的約數有1、2、4和8,它們的公約數就是1和2,其中2就是最大公約數。
公倍數:指在兩個或兩個以上的自然數中,如果它們有相同的倍數,這些倍數就是它們的“公倍數”。公倍數中最小的,稱為這幾個自然數的最小公倍數。比如,自然數6的倍數有6、12、18、24,以此類推。自然數8的倍數有8、16、24、32,以此類推。它們的公倍數有無數個,其中24就是最大公約數。
自然數之間的公約數不少,公倍數更多,那為什么主要研究最大公約數和最小公倍數呢?
那是因為自然數之間的最小公約數都是1,沒有研究的必要。最大公倍數都趨近無窮大,無法有效地研究。
其次,了解完公約數和公倍數之后,我們通過幾道題來了解一下如何使用公約數和公倍數來解題:
【例1】有三根鐵絲,分別長12米、18米、24米,現在要把它截成同樣長的小段且鐵絲沒有浪費,最少可以截多少段?
A.5 B.7 C.9 D.12
【中公解析】C。把鋼絲截成小段且沒有浪費,也就是截后每一段的長度應是三根鐵絲長度的約數。同時三根鐵絲需要截成同樣長的小段,所以每小段的長度是三根鐵絲長度的公約數。且所求為最少多少段,要使得截得段數最少,三根鐵絲長度不變,則應該讓每一小段盡可能的長。因此截成的每小段的長度為三段鐵絲長度的最大公約數,12、18和24的最大公約數為6,三根鐵絲截得段數分別為2、3和4,故最少可截9段。選擇C項。
我們通過這道題了解到,如何找到最大公約數和最小公倍數是解題的關鍵,所以現在我們來了解一下怎么去找到最大公約數和最小公倍數。
方法——短除法。
最大公約數為幾個數共有的約數的乘積。
最小公倍數為幾個數共有的約數與自身剩余的數的乘積。若為三個數及以上,就需要保證自身剩余的數兩兩互質(除1以外再無共同的約數)。比如,14、16和18,共有的約數是2,自身剩余的數是7、8和9,這三個數已經兩兩互質。故14、16和18的最小公倍數為2×7×8×9=1008。
【例2】王阿姨每6天去一次菜市場,李阿姨每8天去一次菜市場,今天早上她倆剛好在菜市場相遇,問下一次在菜市場相遇是幾天后?
A.12 B.18 C.24 D.48
【中公解析】C。王阿姨每6天去一次菜市場,也就是王阿姨去菜市場的天數應該為6的倍數,同理可知李阿姨去菜市場的天數為8的倍數。要讓王阿姨和李阿姨在菜市場相遇,則去菜市場的天數應該是6與8的公倍數。所求為下一次兩人在菜市場相遇的時間,也就是時間要少,故兩人去菜市場天數為6和8的最小公倍數,通過短除法可得最小公倍數為24。選擇C項。
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